Введение во фракционный анализ сингулярных («жестких») систем дифференциальных уравнений, представляющих материальные объекты железнодорожного транспорта

Авторы

  • Виктор Алексеевич Нехаев Омский государственный университет путей сообщения
  • Виктор Александрович Николаев Омский государственный университет путей сообщения
  • Елена Геннадьевна Леоненко Красноярский институт железнодорожного транспорта – филиал Иркутского государственного университета путей сооб-щения

Ключевые слова:

система дифференциальных уравнений, сингулярно и регулярно возмущенная математическая модель, спектр-системы, асимптотический метод, фракционный анализ, предельная асимптотическая модель, «быстрые» и «медленные» составляющие, размерные и безразмерные переменные

Аннотация

Довольно часто в науке, да и в транспортной механике тоже, мы сталкиваемся с явлением, когда аргумент некоторой функции чрезвычайно мал, а ее значение при этом весьма велико, но их произведение все же ограничено по величине. Такие математические модели или системы дифференциальных уравнений называют «жесткими». Их численное интегрирование требует применения специальных методов, например, метода Гира, иначе потребуется затратить очень много «машинного» времени. Хотя и в этом случае правильный результат не гарантирован. Академик Российской академии наук А.Н. Тихонов доказал теорему о разделении движения динамической системы на «быстрые» и «медленные» составляющие, которая при корректном ее применении обеспечивает заданную точность решения, а ее основу составляют всего пять условий. По образному и меткому выражению профессора Московского государственного университета И.В. Новожилова, исследователь сначала как бы смотрит в телескоп и видит изменение «медленных» переменных, а затем – в микроскоп и, очевидно, видит «быстрые» составляющие. К сожалению, теоретический материал, посвященный данной теореме, в основном публикуется математиками в соответствующих журналах на определенном уровне. Инженеры, выпускаемые техническими вузами, не обладают математическими знаниями в том объеме, который необходим для понимания тихоновской теоремы, хотя с задачами, требующими ее применения, в жизни встречаются довольно часто. Большие усилия к внедрению этой теоремы в приложения были затрачены профессором И.В. Новожиловым, опубликовавшим несколько монографий по этому вопросу. В настоящей статье делается попытка с инженерной, методической точки зрения рассмотреть решение известной, и, конечно же, решенной задачи Стокса. Получено точное и приближенные решения и проведено их сравнение.

Биографии авторов

Виктор Алексеевич Нехаев, Омский государственный университет путей сообщения

Д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры теоретической и прикладной механики

Виктор Александрович Николаев, Омский государственный университет путей сообщения

Д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики

Елена Геннадьевна Леоненко, Красноярский институт железнодорожного транспорта – филиал Иркутского государственного университета путей сооб-щения

Преподаватель электромеханического отделения

Библиографические ссылки

Клайн С. Дж. Подобие и приближенные методы. М. : Мир, 1968. 302 с.

Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Мир, 1968. 464 c.

Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М. : Наука, 1975. 247 с.

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231 с.

Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Математиче-ский сборник. 1952. Т. 31 (73). № 3. С. 575 –586.

Васильева А.Б., Бутусов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М. : Наука, 1973. 272 с.

Красовский Н.Н., Климушев А.И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Успехи математических наук. 1963. Т. 18. № 3. С. 680 – 690.

Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Математический сборник. 1960. Т. 51. № 1. С. 99 – 128.

Новожилов И.В. Приближенные методы исследования динамических систем. М. : МЭИ, 1980. 47 с.

Новожилов И.В. Методы разделения движений. М. : МЭИ, 1981. 48 p.

Новожилов И.В. Теория размерности и приближенные методы. М. : МЭИ, 1987. 76 с.

Новожилов И.В. Приближенные методы исследования гироскопических систем. Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М. : МЭИ, 1973. 456 с.

Градштейн И.С. О решениях на временной полупрямой дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных // Математический сборник. 1953. Т. 32. С. 533 – 544.

Капустина О.М., Новожилов И.В. Разделение движений в динамике экипажа с неконтактной подвеской // Межвузов-ский тематический сборник. 1983. № 16. С. 36 – 42.

Брагин В.В., Новожилов И.В, Пшеничкина Л.А. Об устойчивости трехосного индикаторного гиростабилизатора // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. № 6. С. 26 – 33.

Новожилов И.В. Предельная модель системы с упругими элементами большой жесткости // Изв. АН СССР. 1988. № 4. С. 24—27.

Новожилов И.В. Разделение движений рельсового экипажа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. № 1. С. 55 – 59.

Копылов И.А, Новожилов И.В. Поперечные колебания железнодорожного поезда // Изв. АН СССР. Механика твердо-го тела. 1985. № 4. С. 64—70.

Новожилов И.В. Условия застоя в системах с кулоновым трением // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973. № 1. С. 8 – 14.

Новожилов И.В. Фракционный анализ. М. : МГУ, 1991. 188 с.

Игнатенко В.П., Куценко С.М., Гулякина Т.В. О характере сил трения в контакте катящегося по направляющей колеса // Вестник Харьк. политехнич. ин-та. 1985. № 99. С. 39–41.

Нехаев В.А. Оптимизация режимов ведения поезда с учетом критериев безопасности движения (методы и алгоритмы) : дис. … док-ра техн. наук. Омск, 2000. 356 с.

Голубенко А.Л. Сцепление колеса с рельсом. Киев : Вiпол, 1993. 448 с.

Журавлёв В.Ф. О модели сухого трения в задаче о качения твердых тел // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. № 5. С. 762–767.

Киреенков А.А. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 1. С. 60–67.

Киреенков А.А. Метод вычисления силы трения и момента сил трения в комбинированной модели сухого трения для круговых площадок контакта // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. № 3. С. 48–53.

Журавлёв В.Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. № 4. С. 81–88.

Иванов А.П. О движении плоских тел при наличии трения покоя // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. № 4. С. 89–94.

Журавлёв В.Ф., Киреенков А.А. О разложениях Падэ в задаче о двумерном кулоновом трении // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2005. № 2. С. 192–202.

Опубликован

2022-08-01

Как цитировать

Нехаев, В. А., Николаев, В. А., & Леоненко, Е. Г. (2022). Введение во фракционный анализ сингулярных («жестких») систем дифференциальных уравнений, представляющих материальные объекты железнодорожного транспорта. Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, (2(74), 33-46. извлечено от http://ojs.irgups.ru/index.php/stsam/article/view/816

Выпуск

Раздел

Машиностроение, машиноведение и энергетические системы