Введение во фракционный анализ сингулярных («жестких») систем дифференциальных уравнений, представляющих материальные объекты железнодорожного транспорта

Аннотация

Довольно часто в науке, да и в транспортной механике тоже, мы сталкиваемся с явлением, когда аргумент некоторой функции чрезвычайно мал, а ее значение при этом весьма велико, но их произведение все же ограничено по величине. Такие математические модели или системы дифференциальных уравнений называют «жесткими». Их численное интегрирование требует применения специальных методов, например, метода Гира, иначе потребуется затратить очень много «машинного» времени. Хотя и в этом случае правильный результат не гарантирован. Академик Российской академии наук А.Н. Тихонов доказал теорему о разделении движения динамической системы на «быстрые» и «медленные» составляющие, которая при корректном ее применении обеспечивает заданную точность решения, а ее основу составляют всего пять условий. По образному и меткому выражению профессора Московского государственного университета И.В. Новожилова, исследователь сначала как бы смотрит в телескоп и видит изменение «медленных» переменных, а затем – в микроскоп и, очевидно, видит «быстрые» составляющие. К сожалению, теоретический материал, посвященный данной теореме, в основном публикуется математиками в соответствующих журналах на определенном уровне. Инженеры, выпускаемые техническими вузами, не обладают математическими знаниями в том объеме, который необходим для понимания тихоновской теоремы, хотя с задачами, требующими ее применения, в жизни встречаются довольно часто. Большие усилия к внедрению этой теоремы в приложения были затрачены профессором И.В. Новожиловым, опубликовавшим несколько монографий по этому вопросу. В настоящей статье делается попытка с инженерной, методической точки зрения рассмотреть решение известной, и, конечно же, решенной задачи Стокса. Получено точное и приближенные решения и проведено их сравнение.